对信号的频率具有选择性的电路称为滤波电路，它的功能是使特定频率范围内的信号通过，而阻止其它频率信号通过。有源滤波电路是应用广泛的信号处理电路。

一、滤波电路的基础知识

1、滤波电路的种类

通常，按照滤波电路的工作频带为其命名，分为低通滤波器（LPF：Low Pass Filter）、高通滤波器（HFP：High Pass Filter）、带通滤波器（Band Pass Filter）、带阻滤波器（BEF：Band Elimination Filter）和全通滤波器（APF：All Pass Filter）。 设截止频率为

f

p

f_p

fp​，频率低于

f

p

f_p

fp​ 的信号能够通过，高于

f

p

f_p

fp​ 的信号被衰减的滤波电路称为低通滤波器；反之，频率高于

f

p

f_p

fp​ 的信号能够通过，而频率低于

f

p

f_p

fp​ 的信号被衰减的滤波电路称为高通滤波器。前者可以作为直流电源整流后的滤波电路，以便得到平滑的直流电压；后者可以作为交流放大电路的耦合电路，隔离直流成分，只放大频率高于

f

p

f_p

fp​ 的信号。 设低频段的截止频率为

f

p

1

f_{p1}

fp1​，高频段的截止频率为

f

p

2

f_{p2}

fp2​，频率为

f

p

1

f_{p1}

fp1​ 到

f

p

2

f_{p2}

fp2​ 之间的信号能够通过，低于

f

p

1

f_{p1}

fp1​ 和高于

f

p

2

f_{p2}

fp2​ 的信号被衰减的滤波电路称为带通滤波器；反之，频率低于

f

p

1

f_{p1}

fp1​ 和高于

f

p

2

f_{p2}

fp2​ 的信号能够通过，而频率是

f

p

1

f_{p1}

fp1​ 到

f

p

2

f_{p2}

fp2​ 之间的信号被衰减的滤波电路称为带阻滤波器。前者常用于载波通讯或弱信号提取等场合，以提高信噪比；后者用于在已知干扰或噪声频率的情况下，阻止其通过。 全通滤波器对于频率从零到无穷大的信号具有同样的比例系数，但对于不同频率的信号将产生不同的相移。 理想滤波电路的幅频特性如图7.3.1所示。允许通过的频段称为通带，将信号衰减到零的频段称为阻带。

2、滤波电器的幅频特性

实际上，任何滤波器均不可能具备图7.3.1所示的幅频特性，在通带和阻带之间存在着过渡带。称通带中输出电压与输入电压之比

A

˙

u

p

\pmb{\dot A_{up}}

A˙up​ 为通带放大倍数。图7.3.2所示为低通滤波器的实际幅频特性，

A

˙

u

p

\dot A_{up}

A˙up​ 是频率等于零时输出电压与输入电压之比，使

∣

A

˙

u

∣

≈

0.707

∣

A

˙

u

p

∣

|\dot A_{u}|\approx 0.707|\dot A_{up}|

∣A˙u​∣≈0.707∣A˙up​∣ 的频率为通带截止频率

f

p

f_{p}

fp​，从

f

p

f_p

fp​ 到

∣

A

˙

u

∣

|\dot A_u|

∣A˙u​∣ 接近零的频带称为过渡带，使

∣

A

˙

u

∣

|\dot A_u|

∣A˙u​∣ 趋近于零的频带称为阻带。过渡带愈窄，电路的选择性愈好，滤波特性愈理想。

分析滤波电路，就是求解电路的频率特性。对于 LFP、HPF、BPF 和 BEF，就是求解出

A

˙

u

p

\dot A_{up}

A˙up​、

f

p

f_p

fp​ 和过渡带的斜率。

3、无源滤波电路和有源滤波电路

若滤波电路仅由无源元件（电阻、电容、电感）组成，则称为无源滤波电路。若滤波电路由无源元件和有源元件（双极型管、单极型管、集成运放）共同组成，则称为有源滤波电路。 （1）无源低通滤波器

图7.3.3(a)所示为

R

C

RC

RC 低通滤波器，当信号频率趋于零时，电容的容抗趋于无穷大，故通带放大倍数

A

˙

u

p

=

U

˙

o

U

˙

i

=

1

(

7.3.1

)

\dot A_{up}=\frac{\dot U_o}{\dot U_i}=1\kern 40pt(7.3.1)

A˙up​=U˙i​U˙o​​=1(7.3.1)频率从零到无穷大时的电压方法倍数

A

˙

u

=

U

˙

o

U

˙

i

=

1

j

ω

C

R

+

1

j

ω

C

=

1

1

+

j

ω

R

C

\dot A_u=\frac{\dot U_o}{\dot U_i}=\frac{\displaystyle\frac{1}{j\omega C}}{R+\displaystyle\frac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega RC}

A˙u​=U˙i​U˙o​​=R+jωC1​jωC1​​=1+jωRC1​令

f

p

=

1

2

π

τ

=

1

2

π

R

C

f_p=\displaystyle\frac{1}{2π\tau}=\frac{1}{2πRC}

fp​=2πτ1​=2πRC1​，则上式变换为

A

˙

u

=

1

1

+

j

f

f

p

=

A

˙

u

p

1

+

j

f

f

p

(

7.3.2

)

\dot A_u=\frac{1}{1+j\displaystyle\frac{f}{f_p}}=\frac{\dot A_{up}}{1+j\displaystyle\frac{f}{f_p}}\kern 30pt(7.3.2)

A˙u​=1+jfp​f​1​=1+jfp​f​A˙up​​(7.3.2)其模为

∣

A

˙

u

∣

=

∣

A

˙

u

p

∣

1

+

(

f

f

p

)

2

(

7.3.3

)

|\dot A_u|=\frac{|\dot A_{up}|}{\sqrt{1+\Big(\displaystyle\frac{f}{f_p}\Big)^2}}\kern 45pt(7.3.3)

∣A˙u​∣=1+(fp​f​)2

​∣A˙up​∣​(7.3.3)当

f

=

f

p

f=f_p

f=fp​ 时，有

∣

A

˙

u

∣

=

∣

A

˙

u

p

∣

2

≈

0.707

∣

A

˙

u

p

∣

|\dot A_u|=\frac{|\dot A_{up}|}{\sqrt{2}}\approx0.707|\dot A_{up}|

∣A˙u​∣=2

​∣A˙up​∣​≈0.707∣A˙up​∣当

f

>

>

f

p

f>>f_p

f>>fp​ 时，

∣

A

˙

u

∣

≈

f

p

f

∣

A

˙

u

p

∣

|\dot A_u|\approx\displaystyle\frac{f_p}{f}|\dot A_{up}|

∣A˙u​∣≈ffp​​∣A˙up​∣，频率每升高10倍，

∣

A

˙

u

∣

|\dot A_u|

∣A˙u​∣ 下降 10 倍，即过渡带的斜率为 -20 dB/十倍频。电路的幅频特性如图7.3.3(b)中实线所示。图中的纵坐标为

20

lg

⁡

∣

A

˙

u

A

˙

u

p

∣

20\lg\Big|\displaystyle\frac{\dot A_u}{\dot A_{up}}\Big|

20lg

​A˙up​A˙u​​

​ 是为了保证当

f

=

0

f=0

f=0 时它们的值相等，均为 0。 当图7.3.3(a)所示电路带上负载后（如图中虚线所示），通带放大倍数变为

A

˙

u

p

=

U

˙

o

U

˙

i

=

R

L

R

+

R

L

\dot A_{up}=\frac{\dot U_o}{\dot U_i}=\frac{R_L}{R+R_L}

A˙up​=U˙i​U˙o​​=R+RL​RL​​电压放大倍数

A

˙

u

=

U

˙

o

U

˙

i

=

R

L

/

/

1

j

ω

C

R

+

R

L

/

/

1

j

ω

C

=

R

L

R

+

R

L

1

+

j

ω

(

R

+

R

L

)

C

\dot A_u=\frac{\dot U_o}{\dot U_i}=\frac{R_L//\displaystyle\frac{1}{j\omega C}}{R+R_L//\displaystyle\frac{1}{j\omega C}}=\frac{\displaystyle\frac{R_L}{R+R_L}}{1+j\omega(R+R_L)C}

A˙u​=U˙i​U˙o​​=R+RL​//jωC1​RL​//jωC1​​=1+jω(R+RL​)CR+RL​RL​​​

A

˙

u

=

U

˙

o

U

˙

i

=

A

˙

u

p

1

+

j

f

f

p

′

(

f

p

′

=

1

2

π

(

R

/

/

R

L

)

C

)

(

7.3.4

)

\dot A_u=\frac{\dot U_o}{\dot U_i}=\frac{\dot A_{up}}{1+j\displaystyle\frac{f}{f'_p}}\kern 10pt\Big(f'_p=\frac{1}{2π(R//R_L)C}\Big)\kern 20pt(7.3.4)

A˙u​=U˙i​U˙o​​=1+jfp′​f​A˙up​​(fp′​=2π(R//RL​)C1​)(7.3.4)式（7.3.4）表明，带负载后，通带放大倍数的数值减小，通带截止频率升高。可见，无源滤波电路的通带放大倍数及其截止频率都随负载而变化，这一缺点常常不符合信号处理的要求，因而产生有源滤波电路。

（2）有源滤波电路 为了使负载不影响滤波特性，可在无源滤波电路和负载之间加一个高输入电阻、低输出电阻的隔离电路，最简单的方法是加一个电压跟随器，如图7.3.4所示，这样就构成了有源滤波电路。 在理想运放的条件下，由于电压跟随器的输入电阻为无穷大，输出电阻为零，因而

U

˙

p

\dot U_p

U˙p​ 仅决定于

R

C

RC

RC 的取值。输出电压

U

˙

o

=

U

˙

p

\dot U_o=\dot U_p

U˙o​=U˙p​，所以电压放大倍数与式（7.3.2）相同。在集成运放功耗允许的情况下，负载变化时放大电路的表达式不变，因此频率特性不变。 有源滤波电路一般由

R

C

RC

RC 网络和集成运放组成，因而必须在合适的直流电源供电的情况下才能起滤波作用，与此同时还可以进行放大。组成电路时应选用带宽合适的集成运放。有源滤波电路不适于高电压大电流的负载，只适用于信号处理。通常，直流电源中整流后的滤波电路均采用无源电路；且在大电流负载时，应采用

L

C

LC

LC （电感、电容）电路。

4、有源滤波电路的传递函数

在分析有源滤波电路时，一般都通过 “拉氏变换”，将电压与电流变换成 “象函数”

U

(

s

)

U(s)

U(s) 和

I

(

s

)

I(s)

I(s)，因而电阻的

R

(

s

)

=

R

R(s)=R

R(s)=R，电容的

Z

C

(

s

)

=

1

/

s

C

Z_{\scriptscriptstyle C}(s)=1/sC

ZC​(s)=1/sC，电感的

Z

L

(

s

)

=

s

L

Z_{\scriptscriptstyle L}(s)=sL

ZL​(s)=sL，输出量与输入量之比称为传递函数，即

A

u

(

s

)

=

U

o

(

s

)

U

i

(

s

)

A_u(s)=\frac{U_o(s)}{U_i(s)}

Au​(s)=Ui​(s)Uo​(s)​图7.3.4所示电路的传递函数

A

u

(

s

)

=

U

o

(

s

)

U

i

(

s

)

=

U

p

(

s

)

U

i

(

s

)

=

1

s

C

R

+

1

s

C

=

1

1

+

s

R

C

(

7.3.5

)

A_{u}(s)=\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{U_p(s)}{U_i(s)}=\frac{\displaystyle\frac{1}{sC}}{R+\displaystyle\frac{1}{sC}}=\frac{1}{1+sRC}\kern 20pt(7.3.5)

Au​(s)=Ui​(s)Uo​(s)​=Ui​(s)Up​(s)​=R+sC1​sC1​​=1+sRC1​(7.3.5)

二、低通滤波电路

1、同相输入低通滤波电路

（1）一阶电路 图7.3.5所示为一阶低通滤波电路，其传递函数

A

u

(

s

)

=

U

o

(

s

)

U

i

(

s

)

=

(

1

+

R

2

R

1

)

U

p

(

s

)

/

U

i

(

s

)

=

(

1

+

R

2

R

1

)

1

1

+

s

R

C

A_{u}(s)=\frac{U_{o}(s)}{U_i(s)}=\Big(1+\frac{R_2}{R_1}\Big)U_p(s)/U_i(s)=\Big(1+\frac{R_2}{R_1}\Big)\frac{1}{1+sRC}

Au​(s)=Ui​(s)Uo​(s)​=(1+R1​R2​​)Up​(s)/Ui​(s)=(1+R1​R2​​)1+sRC1​用

j

ω

j\omega

jω 取代

s

s

s，且令

f

0

=

1

2

π

R

C

f_0=\displaystyle\frac{1}{2πRC}

f0​=2πRC1​，得出电压放大倍数

A

˙

u

=

(

1

+

R

2

R

1

)

⋅

1

1

+

j

f

f

0

(

7.3.6

)

\dot A_u=\Big(1+\frac{R_2}{R_1}\Big)\cdot\frac{1}{1+j\displaystyle\frac{f}{f_0}}\kern 25pt(7.3.6)

A˙u​=(1+R1​R2​​)⋅1+jf0​f​1​(7.3.6)式中

f

0

f_0

f0​ 称为特征频率。令

f

=

0

f=0

f=0，可得通带放大倍数

A

˙

u

p

=

1

+

R

2

R

1

(

7.2.7

)

\dot A_{up}=1+\frac{R_2}{R_1}\kern 40pt(7.2.7)

A˙up​=1+R1​R2​​(7.2.7)当

f

=

f

0

f=f_0

f=f0​ 时，

∣

A

˙

u

∣

=

∣

A

˙

u

p

∣

2

|\dot A_u|=\displaystyle\frac{|\dot A_{up}|}{\sqrt 2}

∣A˙u​∣=2

​∣A˙up​∣​，故称通带截止频率

f

p

=

f

0

f_p=f_0

fp​=f0​。幅频特性如图7.3.6所示，当

f

>

>

f

0

f>>f_0

f>>f0​ 时，曲线按 -20 dB/十倍频下降。

（2）简单二阶电路 一阶电路的过渡带较宽，幅频特性的最大衰减斜率仅为 -20 dB/十倍频。增加

R

C

RC

RC 环节，可加大衰减斜率。 图7.3.7所示为简单二阶低通滤波电路。其通带放大倍数与一阶电路相同，传递函数

A

u

(

s

)

=

(

1

+

R

2

R

1

)

⋅

U

p

(

s

)

U

i

(

s

)

=

(

1

+

R

2

R

1

)

⋅

U

p

(

s

)

U

M

(

s

)

⋅

U

M

(

s

)

U

i

(

s

)

(

7.3.8

)

A_u(s)=\Big(1+\frac{R_2}{R_1}\Big)\cdot\frac{U_p(s)}{U_i(s)}=\Big(1+\frac{R_2}{R_1}\Big)\cdot\frac{U_p(s)}{U_M(s)}\cdot\frac{U_M(s)}{U_i(s)}\kern 15pt(7.3.8)

Au​(s)=(1+R1​R2​​)⋅Ui​(s)Up​(s)​=(1+R1​R2​​)⋅UM​(s)Up​(s)​⋅Ui​(s)UM​(s)​(7.3.8)当

C

1

=

C

2

=

C

C_1=C_2=C

C1​=C2​=C 时，

U

p

(

s

)

U

M

(

s

)

=

1

1

+

s

R

C

\frac{U_p(s)}{U_M(s)}=\frac{1}{1+sRC}

UM​(s)Up​(s)​=1+sRC1​

U

M

(

s

)

U

i

(

s

)

=

1

s

C

/

/

(

R

+

1

s

C

)

R

+

[

1

s

C

/

/

(

R

+

1

s

C

)

]

\frac{U_M(s)}{U_i(s)}=\frac{\displaystyle\frac{1}{sC}//\big(R+\frac{1}{sC}\big)}{R+[\displaystyle\frac{1}{sC}//\big(R+\frac{1}{sC}\big)]}

Ui​(s)UM​(s)​=R+[sC1​//(R+sC1​)]sC1​//(R+sC1​)​代入式（7.3.8），整理可得

A

u

(

s

)

=

(

1

+

R

2

R

1

)

1

1

+

3

s

R

C

+

(

s

R

C

)

2

(

7.3.9

)

A_u(s)=\Big(1+\frac{R_2}{R_1}\Big)\frac{1}{1+3sRC+(sRC)^2}\kern 20pt(7.3.9)

Au​(s)=(1+R1​R2​​)1+3sRC+(sRC)21​(7.3.9)用

j

ω

j\omega

jω 取代

s

s

s，且令

f

0

=

1

2

π

R

C

f_0=\displaystyle\frac{1}{2πRC}

f0​=2πRC1​，得出电压放大倍数表达式为

A

˙

u

=

1

+

R

2

R

1

1

−

(

f

f

0

)

2

+

j

3

f

f

0

(

7.3.10

)

\dot A_u=\frac{1+\displaystyle\frac{R_2}{R_1}}{1-\big(\displaystyle\frac{f}{f_0}\big)^2+j3\frac{f}{f_0}}\kern 40pt(7.3.10)

A˙u​=1−(f0​f​)2+j3f0​f​1+R1​R2​​​(7.3.10)令式（7.3.10）分母的模等于

2

\sqrt 2

2

​，可解出通带截止频率

f

p

≈

0.37

f

0

(

7.3.11

)

f_p\approx0.37f_0\kern 60pt(7.3.11)

fp​≈0.37f0​(7.3.11)幅频特性如图7.3.8所示。虽然衰减斜率达 -40dB/十倍频，但是

f

p

f_p

fp​ 远离

f

0

f_0

f0​。若使

f

=

f

0

f=f_0

f=f0​ 附近的电压放大倍数数值增大，则可使

f

p

f_p

fp​ 接近

f

0

f_0

f0​，滤波特性趋于理想。引入正反馈，可以增大放大倍数。

（3）压控电压源二阶低通滤波电路

将图7.3.7所示电路中

C

1

C_1

C1​ 的接地端改接到集成运放的输出端，便可得到压控电压源二阶低通滤波电路，如图7.3.9所示。电路中既引入了负反馈，又引入了正反馈。当信号频率趋于零时，由于

C

1

C_1

C1​ 的电抗趋于无穷大，因而正反馈很弱；当信号频率趋于无穷大时，由于

C

2

C_2

C2​ 的电抗趋于零，因而

U

p

(

s

)

U_p(s)

Up​(s) 趋于零。可以想象，只要正反馈引入得当，就既可能在

f

=

f

0

f=f_0

f=f0​ 时使电压放大倍数数值增大，又不会因正反馈过强而产生自激振荡。因为同相输入端电位控制由集成运放和

R

1

R_1

R1​、

R

2

R_2

R2​ 组成的电压源，故称之为压控电压源滤波电路。 设

C

1

=

C

2

=

C

C_1=C_2=C

C1​=C2​=C。

M

\textrm M

M 点的电流方程为

U

i

(

s

)

−

U

M

(

s

)

R

=

U

M

(

s

)

−

U

o

(

s

)

1

s

C

+

U

M

(

s

)

−

U

p

(

s

)

R

(

7.3.12

)

\frac{U_i(s)-U_{\scriptscriptstyle M}(s)}{R}=\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_o(s)}{\displaystyle\frac{1}{sC}}+\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_p(s)}{R}\kern 15pt(7.3.12)

RUi​(s)−UM​(s)​=sC1​UM​(s)−Uo​(s)​+RUM​(s)−Up​(s)​(7.3.12)

P

\textrm P

P 点的电流方程为

U

M

(

s

)

−

U

p

(

s

)

R

=

U

p

(

s

)

1

s

C

(

7.3.13

)

\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_{p}(s)}{R}=\frac{U_p(s)}{\displaystyle\frac{1}{sC}}\kern 25pt(7.3.13)

RUM​(s)−Up​(s)​=sC1​Up​(s)​(7.3.13)式（7.3.12）、（7.3.13）和

U

p

(

s

)

=

U

n

(

s

)

=

R

1

R

1

+

R

2

U

o

(

s

)

U_p(s)=U_n(s)=\displaystyle\frac{R_1}{R_1+R_2}U_o(s)

Up​(s)=Un​(s)=R1​+R2​R1​​Uo​(s) 联立，解出传递函数

A

u

(

s

)

=

A

u

p

(

s

)

1

+

[

3

−

A

u

p

(

s

)

]

s

R

C

+

(

s

R

C

)

2

(

7.3.14

)

A_u(s)=\frac{A_{up}(s)}{1+[3-A_{up}(s)]sRC+(sRC)^2}\kern 20pt(7.3.14)

Au​(s)=1+[3−Aup​(s)]sRC+(sRC)2Aup​(s)​(7.3.14)在式（7.3.14）中，只有当

A

u

p

(

s

)

A_{up}(s)

Aup​(s) 小于 3 时，即分母中

s

s

s 的一次项系数大于零，电路才能稳定工作，而不产生自激振荡。而当

A

u

p

(

s

)

A_{up}(s)

Aup​(s) 趋于 0 时，

A

u

(

s

)

A_u(s)

Au​(s) 趋于无穷大，即产生自激振荡。 若令

s

=

j

ω

s=j\omega

s=jω，

f

0

=

1

2

π

R

C

f_0=\displaystyle\frac{1}{2πRC}

f0​=2πRC1​，则电压放大倍数

A

˙

u

=

A

˙

u

p

1

−

(

f

f

0

)

2

+

j

(

3

−

A

˙

u

p

)

f

f

0

(

7.3.15

)

\dot A_{u}=\frac{\dot A_{up}}{1-\big(\displaystyle\frac{f}{f_0}\big)^2+j(3-\dot A_{up})\displaystyle\frac{f}{f_0}}\kern 25pt(7.3.15)

A˙u​=1−(f0​f​)2+j(3−A˙up​)f0​f​A˙up​​(7.3.15)若令

Q

=

∣

1

3

−

A

˙

u

p

∣

Q=\Big|\displaystyle\frac{1}{3-\dot A_{up}}\Big|

Q=

​3−A˙up​1​

​，则

f

=

f

0

f=f_0

f=f0​ 时，有

∣

A

˙

u

∣

∣

f

=

f

0

=

∣

A

˙

u

p

∣

∣

3

−

A

˙

u

p

∣

=

Q

∣

A

˙

u

p

∣

|\dot A_u|\Big|_{f=f_{\scriptscriptstyle 0}}=\displaystyle\frac{|\dot A_{up}|}{|3-\dot A_{up}|}=Q|\dot A_{up}|

∣A˙u​∣

​f=f0​​=∣3−A˙up​∣∣A˙up​∣​=Q∣A˙up​∣，即

Q

=

∣

A

˙

u

∣

∣

f

=

f

0

∣

A

˙

u

p

∣

(

7.3.16

)

Q=\frac{|\dot A_u|\Big|_{f=f_0}}{|\dot A_{up}|}\kern 40pt(7.3.16)

Q=∣A˙up​∣∣A˙u​∣

​f=f0​​​(7.3.16)可见，

Q

Q

Q 是

f

=

f

0

f=f_0

f=f0​ 时的电压放大倍数与通带放大倍数数值之比。 当

2

<

∣

A

˙

u

p

∣

<

3

2<|\dot A_{up}|<3

2<∣A˙up​∣<3 时，

∣

A

˙

u

p

∣

∣

f

=

f

0

>

∣

A

˙

u

p

∣

|\dot A_{up}|\Big|_{f=f_0}>|\dot A_{up}|

∣A˙up​∣

​f=f0​​>∣A˙up​∣。图7.3.10所示为

Q

Q

Q 值不同时的幅频特性，当

f

>

>

f

p

f>>f_p

f>>fp​ 时，曲线按

−

40

dB

/

-40\,\textrm {dB}/

−40dB/十倍频下降。

2、反相输入低通滤波器

（1）一阶电路

积分运算电路具有低通特性，因为其电压放大倍数为

A

˙

u

=

−

1

j

ω

C

R

2

\dot A_u=-\displaystyle\frac{1}{j\omega CR_2}

A˙u​=−jωCR2​1​，可知，当频率趋于零时电压放大倍数的数值趋于无穷大，其幅频特性如图7.3.11(b)虚线所示，图中的纵坐纵应为

20

lg

⁡

∣

A

˙

u

∣

20\lg|\dot A_{u}|

20lg∣A˙u​∣。通带放大倍数决定于由电阻组成的负反馈网络，故在积分运算电路中电容上并联一个电阻，可得到图7.3.11(a)所示的反相输入一阶低通滤波电路；令信号频率等于零，可得通带放大倍数

A

˙

u

p

=

−

R

2

R

1

(

7.3.17

)

\dot A_{up}=-\frac{R_2}{R_1}\kern 50pt(7.3.17)

A˙up​=−R1​R2​​(7.3.17)电路的传递函数

A

u

(

s

)

=

−

R

2

/

/

1

s

C

R

1

=

−

R

2

R

1

⋅

1

1

+

s

R

2

C

(

7.3.18

)

A_u(s)=-\frac{R_2//\displaystyle\frac{1}{sC}}{R_1}=-\frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1}{1+sR_2C}\kern 20pt(7.3.18)

Au​(s)=−R1​R2​//sC1​​=−R1​R2​​⋅1+sR2​C1​(7.3.18)用

j

ω

j\omega

jω 取代

s

s

s，令

f

0

=

1

2

π

R

2

C

f_0=\displaystyle\frac{1}{2πR_2C}

f0​=2πR2​C1​，得出电压放大倍数

A

˙

u

=

A

˙

u

p

1

+

j

f

f

0

(

7.3.19

)

\dot A_u=\frac{\dot A_{up}}{1+j\displaystyle\frac{f}{f_0}}\kern 50pt(7.3.19)

A˙u​=1+jf0​f​A˙up​​(7.3.19)通带截止频率

f

p

=

f

0

f_p=f_0

fp​=f0​，幅频特性如图（b）中实线所示。

（2）二阶电路

与同相输入电路类似，增加

R

C

RC

RC 环节，可以使滤波器的过渡带变窄，衰减斜率的值增大，电路如图7.3.12所示。为了改善

f

0

f_0

f0​ 附近的频率特性，也可采用压控电压源二阶滤波器相类似的方法，即多路反馈的方法，如图7.3.13所示。

在图7.3.13所示电路中，当

f

=

0

f=0

f=0 时，

C

1

C_1

C1​ 和

C

2

C_2

C2​ 均开路，故通带放大倍数

A

˙

u

p

=

−

R

f

R

1

(

7.3.20

)

\dot A_{up}=-\frac{R_f}{R_1}\kern 55pt(7.3.20)

A˙up​=−R1​Rf​​(7.3.20)

M

\textrm M

M 点的电流方程

I

1

(

s

)

=

I

f

(

s

)

+

I

2

(

s

)

+

I

c

(

s

)

I_1(s)=I_f(s)+I_2(s)+I_c(s)

I1​(s)=If​(s)+I2​(s)+Ic​(s)

U

i

(

s

)

−

U

M

(

s

)

R

1

=

U

M

(

s

)

−

U

o

(

s

)

R

f

+

U

M

(

s

)

R

2

+

U

M

(

s

)

s

C

1

(

7.3.21

)

\frac{U_i(s)-U_{\scriptscriptstyle M}(s)}{R_1}=\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_o(s)}{R_f}+\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)}{R_2}+U_{\scriptscriptstyle M}(s)sC_1\kern 15pt(7.3.21)

R1​Ui​(s)−UM​(s)​=Rf​UM​(s)−Uo​(s)​+R2​UM​(s)​+UM​(s)sC1​(7.3.21)其中

U

o

(

s

)

=

−

1

s

R

2

C

2

⋅

U

M

(

s

)

(

7.3.22

)

U_o(s)=-\frac{1}{sR_2C_2}\cdot U_{\scriptscriptstyle M}(s)\kern 40pt(7.3.22)

Uo​(s)=−sR2​C2​1​⋅UM​(s)(7.3.22)解式（7.3.21）和（7.3.22）组成的联立方程，得到传递函数

A

u

(

s

)

=

A

u

p

(

s

)

1

+

s

C

2

R

2

R

f

(

1

R

1

+

1

R

2

+

1

R

f

)

+

s

2

C

1

C

2

R

2

R

f

(

7.3.23

)

A_u(s)=\frac{A_{up}(s)}{1+sC_2R_2R_f\big(\displaystyle\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_f}\big)+s^2C_1C_2R_2R_f}\kern 15pt(7.3.23)

Au​(s)=1+sC2​R2​Rf​(R1​1​+R2​1​+Rf​1​)+s2C1​C2​R2​Rf​Aup​(s)​(7.3.23)与式（7.3.14）对比，可得

{

f

0

=

1

2

π

C

1

C

2

R

2

R

f

(

7.3.24

a

)

Q

=

(

R

1

/

/

R

2

/

/

R

f

)

C

1

R

2

R

f

C

2

(

7.3.24

b

)

\left\{\begin{matrix}f_0=\displaystyle\frac{1}{2π\sqrt{C_1C_2R_2R_f}}\kern 60pt(7.3.24a)\\Q=(R_1//R_2//R_f)\sqrt{\displaystyle\frac{C_1}{R_2R_fC_2}}\kern 20pt(7.3.24b)\\\end{matrix}\right.

⎩

⎨

⎧​f0​=2πC1​C2​R2​Rf​

​1​(7.3.24a)Q=(R1​//R2​//Rf​)R2​Rf​C2​C1​​

​(7.3.24b)​从式（7.3.23）的分母可以看出，滤波器不会因通带放大倍数数值过大而产生自激振荡。因为图7.3.13所示电路中的运放可看成理想运放，即可认为其增益无穷大，故称该电路为无限增益多路反馈滤波电路。 当多个低通滤波器串联起来时，就可得到高阶低通滤波器，图7.3.14所示为四阶低通滤波器的方框图。

3、三种类型的有源低通滤波器

滤波器的品质因数

Q

\pmb Q

Q，也称为滤波器的截止特性系数。其值决定于

f

=

f

0

f=f_0

f=f0​ 附近的频率特性。按照

f

=

f

0

f=f_0

f=f0​ 附近频率特性的特点，可将滤波器分为巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）和贝塞尔（Bessel）三种类型。图7.3.15是这三种类型二阶 LPF 的幅频特性，它们的

Q

Q

Q 值分别为 0.707、1、0.56。巴特沃斯滤波器的幅频特性无峰值，在

f

=

f

0

f=f_0

f=f0​ 附近的幅频特性曲线为单调减。切比雪夫滤波器在

f

=

f

0

f=f_0

f=f0​ 附近的截止特性最好，曲线的衰减斜率最陡。贝塞尔滤波器的过渡特性最好，相频特性无峰值。

三、其它滤波电路

1、高通滤波电路

高通滤波电路与低通滤波电路具有对偶性，如果将图7.3.5、7.3.7和7.3.9所示电路中的电容替换成电阻，电阻替换成电容，就可得到各种高通滤波器。图7.3.16(a) 所示为压控电压源二阶高通滤波电路，图（b）所示为无限增益多路反馈高通滤波电路。

图7.3.16所示电路节点

M

\textrm M

M、

P

\textrm P

P 和

N

\textrm N

N 点的电流方程分别为：

U

i

(

s

)

−

U

M

(

s

)

1

s

C

=

U

M

(

s

)

−

U

o

(

s

)

R

+

U

M

(

s

)

−

U

p

(

s

)

1

s

C

\frac{U_i(s)-U_{\scriptscriptstyle M}(s)}{\displaystyle\frac{1}{sC}}=\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_o(s)}{R}+\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_p(s)}{\displaystyle\frac{1}{sC}}

sC1​Ui​(s)−UM​(s)​=RUM​(s)−Uo​(s)​+sC1​UM​(s)−Up​(s)​

U

M

(

s

)

−

U

p

(

s

)

1

s

C

=

U

p

(

s

)

R

\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_p(s)}{\displaystyle\frac{1}{sC}}=\frac{U_p(s)}{R}

sC1​UM​(s)−Up​(s)​=RUp​(s)​

U

n

(

s

)

=

R

1

R

1

+

R

f

U

o

(

s

)

U_n(s)=\frac{R_1}{R_1+R_f}U_o(s)

Un​(s)=R1​+Rf​R1​​Uo​(s)联立上式及

U

n

(

s

)

=

U

p

(

s

)

U_n(s)=U_p(s)

Un​(s)=Up​(s) 可得传递函数：

A

u

(

s

)

=

A

u

p

(

s

)

⋅

(

s

R

C

)

2

1

+

(

3

−

A

˙

u

p

)

s

R

C

+

(

s

R

C

)

2

(

7.3.25

)

A_u(s)=A_{up}(s)\cdot\frac{(sRC)^2}{1+(3-\dot A_{up})sRC+(sRC)^2}\kern 20pt(7.3.25)

Au​(s)=Aup​(s)⋅1+(3−A˙up​)sRC+(sRC)2(sRC)2​(7.3.25)通带放大倍数、截止频率和品质因数分别为

A

˙

u

p

=

1

+

R

f

R

1

(

7.3.26

)

\dot A_{up}=1+\frac{R_f}{R_1}\kern 50pt(7.3.26)

A˙up​=1+R1​Rf​​(7.3.26)

f

p

=

1

2

π

R

C

(

7.3.27

)

f_p=\frac{1}{2πRC}\kern 50pt(7.3.27)

fp​=2πRC1​(7.3.27)

Q

=

∣

1

3

−

A

˙

u

p

∣

(

7.3.28

)

Q=\Big|\frac{1}{3-\dot A_{up}}\Big|\kern 40pt(7.3.28)

Q=

​3−A˙up​1​

​(7.3.28) 图7.3.16(b)所示电路中，设

C

1

C_1

C1​ 和

C

2

C_2

C2​ 间为节点

M

\textrm M

M，列出

M

\textrm M

M 点和

N

\textrm N

N 点的节点电流方程

U

i

(

s

)

−

U

M

(

s

)

1

s

C

1

=

U

M

(

s

)

R

1

+

U

M

(

s

)

−

U

n

(

s

)

1

s

C

2

+

U

M

(

s

)

−

U

o

(

s

)

1

s

C

3

\frac{U_i(s)-U_{\scriptscriptstyle M}(s)}{\displaystyle\frac{1}{sC_1}}=\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)}{R_1}+\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_n(s)}{\displaystyle\frac{1}{sC_2}}+\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_o(s)}{\displaystyle\frac{1}{sC_3}}

sC1​1​Ui​(s)−UM​(s)​=R1​UM​(s)​+sC2​1​UM​(s)−Un​(s)​+sC3​1​UM​(s)−Uo​(s)​

U

M

(

s

)

−

U

n

(

s

)

1

s

C

2

=

U

n

(

s

)

−

U

o

(

s

)

R

2

\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_n(s)}{\displaystyle \frac{1}{sC_2}}=\frac{U_n(s)-U_o(s)}{R_2}

sC2​1​UM​(s)−Un​(s)​=R2​Un​(s)−Uo​(s)​

U

n

(

s

)

=

U

p

(

s

)

=

0

U_n(s)=U_p(s)=0

Un​(s)=Up​(s)=0解得传递函数

A

u

(

s

)

=

A

u

p

(

s

)

⋅

s

2

R

1

R

2

C

2

C

3

1

+

s

R

1

(

C

1

+

C

2

+

C

3

)

+

s

2

R

1

R

2

C

2

C

3

(

7.3.29

)

A_u(s)=A_{up}(s)\cdot\frac{s^2R_1R_2C_2C_3}{1+sR_1(C_1+C_2+C_3)+s^2R_1R_2C_2C_3}\kern 10pt(7.3.29)

Au​(s)=Aup​(s)⋅1+sR1​(C1​+C2​+C3​)+s2R1​R2​C2​C3​s2R1​R2​C2​C3​​(7.3.29)用

j

ω

j\omega

jω 取代

s

s

s，电压放大倍数

A

˙

u

=

−

C

1

C

3

⋅

−

(

f

f

0

)

2

1

−

(

f

f

0

)

2

+

j

R

1

C

2

C

3

R

2

(

C

1

+

C

2

+

C

3

)

(

f

f

0

)

\dot A_u=-\frac{C_1}{C_3}\cdot\frac{-\big(\displaystyle\frac{f}{f_0}\big)^2}{1-\big(\displaystyle\frac{f}{f_0}\big)^2+j\sqrt{\frac{R_1}{C_2C_3R_2}}(C_1+C_2+C_3)\big(\frac{f}{f_0}\big)}

A˙u​=−C3​C1​​⋅1−(f0​f​)2+jC2​C3​R2​R1​​

​(C1​+C2​+C3​)(f0​f​)−(f0​f​)2​令

f

→

∞

f\rightarrow\infty

f→∞，可得通带放大倍数

A

˙

u

p

=

−

C

1

C

3

(

7.3.30

)

\dot A_{up}=-\frac{C_1}{C_3}\kern 40pt(7.3.30)

A˙up​=−C3​C1​​(7.3.30)截止频率和品质因数分别为

f

p

=

1

2

π

R

1

R

2

C

2

C

3

(

7.3.31

)

f_p=\frac{1}{2π\sqrt{R_1R_2C_2C_3}}\kern 30pt(7.3.31)

fp​=2πR1​R2​C2​C3​

​1​(7.3.31)

Q

=

(

C

1

+

C

2

+

C

3

)

R

1

C

2

C

3

R

2

(

7.3.32

)

Q=(C_1+C_2+C_3)\sqrt{\frac{R_1}{C_2C_3R_2}}\kern 20pt(7.3.32)

Q=(C1​+C2​+C3​)C2​C3​R2​R1​​

​(7.3.32)

2、带通滤波电路

将低通滤波器和高通滤波器串联，如图7.1.17所示，就可得到带通滤波器。设前者的截止频率为

f

p

1

f_{p1}

fp1​，后者的截止频率为

f

p

2

f_{p2}

fp2​，

f

p

2

f_{p2}

fp2​ 应小于

f

p

1

f_{p1}

fp1​，则通频带为

(

f

p

1

−

f

p

2

)

(f_{p1}-f_{p2})

(fp1​−fp2​)。实用电路中也常采用单个集成运放构成压控电压源二阶带通滤波电路，如图7.3.18所示。

U

˙

p

\dot U_p

U˙p​ 为同相比例运算电路的输入，比例系数

A

˙

u

f

=

U

˙

o

U

˙

p

=

1

+

R

f

R

(

7.3.33

)

\dot A_{uf}=\frac{\dot U_o}{\dot U_p}=1+\frac{R_f}{R}\kern 40pt(7.3.33)

A˙uf​=U˙p​U˙o​​=1+RRf​​(7.3.33)设

R

1

R_1

R1​ 和

C

1

C_1

C1​ 之间的节点为

M

\textrm M

M，则可列出

M

\textrm M

M、

P

\textrm P

P、

N

\textrm N

N 点的节点电流方程

U

i

(

s

)

−

U

M

(

s

)

R

1

=

U

M

(

s

)

1

s

C

1

+

U

M

(

s

)

−

U

p

(

s

)

1

s

C

2

+

U

M

(

s

)

−

U

o

(

s

)

R

3

\frac{U_i(s)-U_{\scriptscriptstyle M}(s)}{R_1}=\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)}{\displaystyle\frac{1}{sC_1}}+\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_p(s)}{\displaystyle \frac{1}{sC_2}}+\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_o(s)}{R_3}

R1​Ui​(s)−UM​(s)​=sC1​1​UM​(s)​+sC2​1​UM​(s)−Up​(s)​+R3​UM​(s)−Uo​(s)​

U

M

(

s

)

−

U

p

(

s

)

1

s

C

2

=

U

p

(

s

)

R

2

\frac{U_{\scriptscriptstyle M}(s)-U_p(s)}{\displaystyle \frac{1}{sC_2}}=\frac{U_p(s)}{R_2}

sC2​1​UM​(s)−Up​(s)​=R2​Up​(s)​

U

n

(

s

)

=

R

R

+

R

f

U

o

(

s

)

U_n(s)=\frac{R}{R+R_f}U_o(s)

Un​(s)=R+Rf​R​Uo​(s)

U

p

(

s

)

=

U

n

(

s

)

U_p(s)=U_n(s)

Up​(s)=Un​(s)联立上面四个方程，当

C

1

=

C

2

=

C

C_1=C_2=C

C1​=C2​=C，

R

1

=

R

3

=

R

R_1=R_3=R

R1​=R3​=R，

R

2

=

2

R

R_2=2R

R2​=2R 时，电路的传递函数

A

u

(

s

)

=

A

u

f

(

s

)

⋅

s

R

C

1

+

[

3

−

A

u

f

(

s

)

]

s

R

C

+

(

s

R

C

)

2

(

7.3.34

)

A_u(s)=A_{uf}(s)\cdot\frac{sRC}{1+[3-A_{uf}(s)]sRC+(sRC)^2}\kern 20pt(7.3.34)

Au​(s)=Auf​(s)⋅1+[3−Auf​(s)]sRC+(sRC)2sRC​(7.3.34)令中心频率

f

0

=

1

2

π

R

C

f_0=\displaystyle\frac{1}{2πRC}

f0​=2πRC1​，电压放大倍数

A

˙

u

=

A

˙

u

f

3

−

A

˙

u

f

⋅

1

1

+

j

1

3

−

A

˙

u

f

(

f

f

0

−

f

0

f

)

(

7.3.35

)

\dot A_u=\frac{\dot A_{uf}}{3-\dot A_{uf}}\cdot\frac{1}{1+j\displaystyle\frac{1}{3-\dot A_{uf}}\Big(\frac{f}{f_0}-\frac{f_0}{f}\Big)}\kern 30pt(7.3.35)

A˙u​=3−A˙uf​A˙uf​​⋅1+j3−A˙uf​1​(f0​f​−ff0​​)1​(7.3.35)当

f

=

f

0

f=f_0

f=f0​ 时，得出通带放大倍数

A

˙

u

p

=

A

˙

u

f

∣

3

−

A

˙

u

f

∣

=

Q

A

˙

u

f

(

7.3.36

)

\dot A_{up}=\frac{\dot A_{uf}}{|3-\dot A_{uf}|}=Q\dot A_{uf}\kern 40pt(7.3.36)

A˙up​=∣3−A˙uf​∣A˙uf​​=QA˙uf​(7.3.36)令式（7.3.35）分母的模为

2

\sqrt2

2

​，即式（7.3.35）分母虚部的绝对值为1，即

∣

1

3

−

A

˙

u

f

(

f

p

f

0

−

f

0

f

p

)

∣

=

1

\Big|\frac{1}{3-\dot A_{uf}}\Big(\frac{f_p}{f_0}-\frac{f_0}{f_p}\Big)\Big|=1

​3−A˙uf​1​(f0​fp​​−fp​f0​​)

​=1解方程，取正根，就可得到下限截止频率

f

p

1

f_{p1}

fp1​ 和上限截止频率

f

p

2

f_{p2}

fp2​ 分别为

{

f

p

1

=

f

0

2

[

(

3

−

A

˙

u

f

)

2

+

4

−

(

3

−

A

˙

u

f

)

]

(

7.3.37

a

)

f

p

2

=

f

0

2

[

(

3

−

A

˙

u

f

)

2

+

4

+

(

3

−

A

˙

u

f

)

]

(

7.3.27

b

)

\left\{\begin{matrix}f_{p1}=\displaystyle\frac{f_0}{2}[\sqrt{(3-\dot A_{uf})^2+4}-(3-\dot A_{uf})]\kern 20pt(7.3.37a)\\f_{p2}=\displaystyle\frac{f_0}{2}[\sqrt{(3-\dot A_{uf})^2+4}+(3-\dot A_{uf})]\kern 20pt(7.3.27b)\\\end{matrix}\right.

⎩

⎨

⎧​fp1​=2f0​​[(3−A˙uf​)2+4

​−(3−A˙uf​)](7.3.37a)fp2​=2f0​​[(3−A˙uf​)2+4

​+(3−A˙uf​)](7.3.27b)​因此，通频带

f

b

w

=

f

p

2

−

f

p

1

=

∣

3

−

A

˙

u

f

∣

f

0

=

f

0

Q

(

7.3.38

)

f_{bw}=f_{p2}-f_{p1}=|3-\dot A_{uf}|f_0=\frac{f_0}{Q}\kern 20pt(7.3.38)

fbw​=fp2​−fp1​=∣3−A˙uf​∣f0​=Qf0​​(7.3.38)电路的幅频特性如图7.3.19所示。

Q

Q

Q 值愈大，通带放大倍数数值愈大，频带愈窄，选频特性愈好。调整电路的

A

˙

u

p

\dot A_{up}

A˙up​，能够改变频带宽度。

3、带阻滤波电路

将输入电压同时作用于低通滤波器和高通滤波器，再将两个电路的输出电压求和，就可以得到带阻滤波器，如图7.3.20所示。其中低通滤波器的截止频率

f

p

1

f_{p1}

fp1​ 应小于高通滤波器的截止频率

f

p

2

f_{p2}

fp2​，因此，电路的阻带为

(

f

p

2

−

f

p

1

)

(f_{p2}-f_{p1})

(fp2​−fp1​)。

实用电路常利用无源 LPF 和 HPF 并联构成无源带阻滤波电路，然后接同相比例运算电路，从而得到有源带阻滤波电路，如图7.3.21所示。其中两个

T

\textrm T

T 型网络，上面一个为高通滤波电路，下面一个为低通滤波电路。由于两个无源滤波电路均由三个元件构成英文字母

T

\textrm T

T，故称之为双

T

\textrm T

T 网络。

常用的带阻滤波电路如图7.3.22所示，其通带放大倍数

A

˙

u

p

=

1

+

R

f

R

1

(

7.3.39

)

\dot A_{up}=1+\frac{R_f}{R_1}\kern 40pt(7.3.39)

A˙up​=1+R1​Rf​​(7.3.39)列写各节点的电流方程，可以得到传递函数

A

u

(

s

)

=

A

u

p

(

s

)

⋅

1

+

(

s

R

C

)

2

1

+

2

[

2

−

A

u

p

(

s

)

]

s

R

C

+

(

s

R

C

)

2

(

7.3.40

)

A_u(s)=A_{up}(s)\cdot\frac{1+(sRC)^2}{1+2[2-A_{up}(s)]sRC+(sRC)^2}\kern 20pt(7.3.40)

Au​(s)=Aup​(s)⋅1+2[2−Aup​(s)]sRC+(sRC)21+(sRC)2​(7.3.40)令中心频率

f

0

=

1

2

π

R

C

f_0=\displaystyle\frac{1}{2πRC}

f0​=2πRC1​，则电压放大倍数

A

˙

u

=

A

˙

u

p

⋅

1

−

(

f

f

0

)

2

1

−

(

f

f

0

)

2

+

j

2

(

2

−

A

˙

u

p

)

f

f

0

=

A

˙

u

p

1

+

j

2

(

2

−

A

˙

u

p

)

f

f

0

f

0

2

−

f

2

(

7.3.41

)

\dot A_u=\dot A_{up}\cdot\frac{1-\big(\displaystyle\frac{f}{f_0}\big)^2}{1-\big(\displaystyle\frac{f}{f_0}\big)^2+j2(2-\dot A_{up})\frac{f}{f_0}}=\frac{\dot A_{up}}{1+j2(2-\dot A_{up})\displaystyle\frac{ff_0}{f^2_0-f^2}}\kern 15pt(7.3.41)

A˙u​=A˙up​⋅1−(f0​f​)2+j2(2−A˙up​)f0​f​1−(f0​f​)2​=1+j2(2−A˙up​)f02​−f2ff0​​A˙up​​(7.3.41)此时令

f

→

0

f\rightarrow0

f→0 或

f

→

∞

f\rightarrow\infty

f→∞ 均可得到通带放大倍数。 通带截止频率

{

f

p

1

=

[

(

2

−

A

˙

u

p

)

2

+

1

−

(

2

−

A

˙

u

p

)

]

f

0

(

7.3.42

a

)

f

p

2

=

[

(

2

−

A

˙

u

p

)

2

+

1

+

(

2

−

A

˙

u

p

)

]

f

0

(

7.3.42

b

)

\left\{\begin{matrix}f_{p1}=\displaystyle[\sqrt{(2-\dot A_{up})^2+1}-(2-\dot A_{up})]f_0\kern 20pt(7.3.42a)\\f_{p2}=\displaystyle[\sqrt{(2-\dot A_{up})^2+1}+(2-\dot A_{up})]f_0\kern 20pt(7.3.42b)\\\end{matrix}\right.

⎩

⎨

⎧​fp1​=[(2−A˙up​)2+1

​−(2−A˙up​)]f0​(7.3.42a)fp2​=[(2−A˙up​)2+1

​+(2−A˙up​)]f0​(7.3.42b)​阻带宽度

B

W

=

f

p

2

−

f

p

1

=

2

∣

2

−

A

˙

u

p

∣

f

0

=

f

0

Q

(

7.3.43

)

BW=f_{p2}-f_{p1}=2|2-\dot A_{up}|f_0=\frac{f_0}{Q}\kern 30pt(7.3.43)

BW=fp2​−fp1​=2∣2−A˙up​∣f0​=Qf0​​(7.3.43)其中

Q

=

1

2

∣

2

−

A

˙

u

p

∣

Q=\displaystyle\frac{1}{2|2-\dot A_{up}|}

Q=2∣2−A˙up​∣1​，不同

Q

Q

Q 值时的幅频特性如图7.3.23所示。

4、全通滤波电路

图7.3.24所示为两个一阶全通滤波电路。在图（a）所示电路中，

N

\textrm N

N 点和

P

\textrm P

P 点的电位分别为

U

˙

n

=

U

˙

p

=

R

1

j

ω

C

+

R

⋅

U

˙

i

=

j

ω

R

C

1

+

j

ω

R

C

⋅

U

˙

i

\dot U_n=\dot U_p=\frac{R}{\displaystyle\frac{1}{j\omega C}+R}\cdot\dot U_i=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}\cdot \dot U_i

U˙n​=U˙p​=jωC1​+RR​⋅U˙i​=1+jωRCjωRC​⋅U˙i​因而输出电压

U

˙

o

=

−

R

R

⋅

U

˙

i

+

(

1

+

R

R

)

j

ω

R

C

1

+

j

ω

R

C

⋅

U

˙

i

\dot U_o=-\frac{R}{R}\cdot\dot U_i+\big(1+\frac{R}{R}\big)\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}\cdot\dot U_i

U˙o​=−RR​⋅U˙i​+(1+RR​)1+jωRCjωRC​⋅U˙i​式中第一项是

U

˙

i

\dot U_i

U˙i​ 对集成运放反相输入端作用的结果，第二项是

U

˙

i

\dot U_i

U˙i​ 对同相输入端作用的结果，所以电压放大倍数

A

˙

u

=

−

1

−

j

ω

R

C

1

+

j

ω

R

C

(

7.3.44

)

\dot A_u=-\frac{1-j\omega RC}{1+j\omega RC}\kern 40pt(7.3.44)

A˙u​=−1+jωRC1−jωRC​(7.3.44)写成模和相角的形式

{

∣

A

˙

u

∣

=

1

(

7.3.45

a

)

φ

=

180

°

−

2

arctan

⁡

f

f

0

(

f

0

=

1

2

π

R

C

)

(

7.3.45

b

)

\left\{\begin{matrix}|\dot A_u|=1\kern 155pt(7.3.45a)\\\varphi=180°-2\arctan\displaystyle\frac{f}{f_0}\kern 10pt\big(f_0=\frac{1}{2πRC}\big)\kern 20pt(7.3.45b)\\\end{matrix}\right.

⎩

⎨

⎧​∣A˙u​∣=1(7.3.45a)φ=180°−2arctanf0​f​(f0​=2πRC1​)(7.3.45b)​式（7.3.45a）表明，信号频率从零到无穷大，输出电压的数值与输入电压相等。式（7.3.45b）表明，当

f

=

f

0

f=f_0

f=f0​ 时，

φ

=

90

°

\varphi=90°

φ=90°；

f

f

f 趋于零时，

φ

\varphi

φ 趋于

180

°

180°

180°；

f

f

f 趋于无穷大时，

φ

\varphi

φ 趋于

0

°

0°

0°。相频特性如图7.3.25中实线所示。

用上述方法可以得出图（b）所示电路的相频特性如图7.3.25中虚线所示。