f
(
x
)
=
a
x
2
|
a
=
{
0.1
,
0.3
,
1
,
3
}
{\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}}
f
(
x
)
=
x
2
+
b
x
|
b
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}}
f
(
x
)
=
x
2
+
b
x
|
b
=
{
−
1
,
−
2
,
−
3
,
−
4
}
{\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}}
系数
a
{\displaystyle a}
控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。
|
a
|
{\displaystyle |a|}
越大，开口越小，函数就增长得越快。
系数
b
{\displaystyle b}
和
a
{\displaystyle a}
控制了抛物线的对称轴（以及顶点的
x
{\displaystyle x}
坐标）。
系数
b
{\displaystyle b}
控制了抛物线穿过
y
{\displaystyle y}
轴时的倾斜度（导数）。
系数
c
{\displaystyle c}
控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与
y
{\displaystyle y}
轴的交点。
函数
图像
函数变化
对称轴
开口方向
最大（小）值
y
=
a
x
2
{\displaystyle y=ax^{2}}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
当
x
>
0
{\displaystyle x>0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而增大；当
x
<
0
{\displaystyle x<0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而增大
y
{\displaystyle y}
轴或
x
=
0
{\displaystyle x=0}
向上
0
{\displaystyle 0}
y
=
a
x
2
{\displaystyle y=ax^{2}}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
当
x
>
0
{\displaystyle x>0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而减小；当
x
<
0
{\displaystyle x<0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而减小
y
{\displaystyle y}
轴或
x
=
0
{\displaystyle x=0}
向下
0
{\displaystyle 0}
y
=
a
x
2
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+c}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
当
x
>
0
{\displaystyle x>0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而增大；当
x
<
0
{\displaystyle x<0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而增大
y
{\displaystyle y}
轴或
x
=
0
{\displaystyle x=0}
向上
c
{\displaystyle c}
y
=
a
x
2
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+c}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
当
x
>
0
{\displaystyle x>0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而减小；当
x
<
0
{\displaystyle x<0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而减小
y
{\displaystyle y}
轴或
x
=
0
{\displaystyle x=0}
向下
c
{\displaystyle c}
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
当
x
>
−
b
2
a
{\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而增大；当
x
<
−
b
2
a
{\displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而增大
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
向上
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle -{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
当
x
>
−
b
2
a
{\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而减小；当
x
<
−
b
2
a
{\displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而减小
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
向下
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle -{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
x 截距
编辑
当函数与
x
{\displaystyle x}
轴有两个交点时，设这两个交点分别为
A
(
x
1
,
0
)
,
B
(
x
2
,
0
)
{\displaystyle A(x_{1},0),\,B(x_{2},0)}
，由根与系数的关系得出[d]：
x
1
+
x
2
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}
和
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
∴
A
B
=
|
x
2
−
x
1
|
=
|
(
x
2
−
x
1
)
2
|
=
|
(
x
1
+
x
2
)
2
−
4
x
1
x
2
|
=
|
(
−
b
a
)
2
−
4
c
a
|
=
|
b
2
a
2
−
4
a
c
a
2
|
=
|
b
2
−
4
a
c
a
2
|
=
b
2
−
4
a
c
|
a
|
或
Δ
|
a
|
{\displaystyle {\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}}
顶点
编辑
抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为
(
h
,
k
)
{\displaystyle (h,k)\,\!}
。用配方法，可以把一般形式
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}
化为：
f
(
x
)
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}
[2][3]
因此在一般形式中，抛物线的顶点是：
(
−
b
2
a
,
−
Δ
4
a
)
{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}
如果二次函数是因子形式
f
(
x
)
=
a
(
x
−
r
1
)
(
x
−
r
2
)
{\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}
，则两个根的平均数
r
1
+
r
2
2
{\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!}
就是顶点的
x
{\displaystyle x}
坐标，因此顶点位于
(
r
1
+
r
2
2
,
f
(
r
1
+
r
2
2
)
)
{\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!}
a
<
0
{\displaystyle a<0\,\!}
时，顶点也是最大值；
a
>
0
{\displaystyle a>0\,\!}
时，则是最小值。
经过顶点的竖直线
x
=
h
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}
又称为抛物线的对称轴。
最大值和最小值
编辑
導數法
编辑
函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。
设有函数
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}
，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数：
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
⇔
f
′
(
x
)
=
2
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!}
然后，求出
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)\,\!}
的根：
2
a
x
+
b
=
0
⇒
2
a
x
=
−
b
⇒
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle 2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}}
因此，
−
b
2
a
{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,\!}
的
x
{\displaystyle x\,\!}
值。现在，为了求出
y
{\displaystyle y\,\!}
，我们把
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
代入
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,\!}
：
y
=
a
(
−
b
2
a
)
2
+
b
(
−
b
2
a
)
+
c
⇒
y
=
a
b
2
4
a
2
−
b
2
2
a
+
c
⇒
y
=
b
2
4
a
−
b
2
2
a
+
c
⇒
y
=
b
2
−
2
b
2
+
4
a
c
4
a
⇒
y
=
−
b
2
+
4
a
c
4
a
⇒
y
=
−
(
b
2
−
4
a
c
)
4
a
⇒
y
=
−
Δ
4
a
{\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}}
所以，最大值或最小值的坐标为：
(
−
b
2
a
,
−
Δ
4
a
)
{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}
配方法
编辑
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
2
+
b
a
x
)
+
c
=
a
[
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
]
+
c
−
a
(
b
2
a
)
2
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
4
a
−
b
2
4
a
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c\\&=a\left[x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}\right]+c-a({\frac {b}{2a}})^{2}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\\\end{aligned}}}
由於實數的二次方皆大於等於0，因此當
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
時，
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
有最大或最小值
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}
。