符號函數 性質 奇偶性 奇函數 定義域 (-∞,∞) 到達域
sgn
x
∈
{
−
1
,
0
,
1
}
{\displaystyle \operatorname {sgn} x\in \{-1,0,1\}}
周期 N/A 特定值 當x=0 0 當x=+∞ 1 當x=-∞ -1 最大值 1 最小值 -1 其他性質 渐近线 N/A 根 0 臨界點 N/A 拐點 N/A 不動點 0,1,-1
符號函數的微分
由于技术原因，此旧版图表已停用，並須迁移至新版图表。造成您的不便，我們深表歉意。
符號函數（藍色）、符號函數的微分（橘色），其中，符號函數的微分正好是2倍的狄拉克δ函数
符號函數（Sign function，簡稱sgn）是一個邏輯函數，用以判斷實數的正負號。為避免和英文讀音相似的正弦函數（sine）混淆，它亦稱為Signum function。其定義為：
sgn
x
=
{
−
1
:
x
<
0
0
:
x
=
0
1
:
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1&:&x<0\\0&:&x=0\\1&:&x>0\end{matrix}}\right.}
性质[编辑]
用艾佛森括號定義：
sgn
x
=
−
[
x
<
0
]
+
[
x
>
0
]
{\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]}
任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積：
x
=
(
sgn
x
)
|
x
|
{\displaystyle x=(\operatorname {sgn} x)|x|}
若x不為零，可以由上式得出符號函數的另一個定義：
sgn
x
=
x
|
x
|
{\displaystyle \operatorname {sgn} x={x \over |x|}}
符號函數是絕對值函數的導數：
d
|
x
|
d
x
=
x
|
x
|
=
sgn
x
{\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}=\operatorname {sgn} x}
除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以說符號函數的導數是狄拉克δ函數的兩倍：
d
sgn
x
d
x
=
2
δ
(
x
)
{\displaystyle {d\ \operatorname {sgn} x \over dx}=2\delta (x)}
它和單位步階函數的關係：
sgn
x
=
2
H
1
/
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H_{1/2}(x)-1}
推广到复数[编辑]
符號函數可以推廣到複數：對於任意
z
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle z\in \mathbb {C} \backslash \{0\}}
，
sgn
z
=
z
|
z
|
{\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}
对于任何z ∈
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
，除了z = 0以外。复数z的符号函数，是复平面上中心为原点的单位圆上距离z最近的点。那么，对于z ≠ 0，有：
sgn
z
=
exp
(
i
arg
z
)
,
{\displaystyle \operatorname {sgn} z=\exp(i\arg z)\,,}
其中arg表示辐角。
出于对称的原因，并且为了实现对实数的符号函数的适当推广，对于z = 0，也常常在复数域中定义：
sgn
0
=
sgn
(
0
+
0
i
)
=
0.
{\displaystyle \operatorname {sgn} 0=\operatorname {sgn}(0+0i)=0.}
符号函数在复数范围的另外一个推广是csgn函数，定义为：
csgn
(
z
)
=
{
1
if
ℜ
(
z
)
>
0
∨
(
ℜ
(
z
)
=
0
∧
ℑ
(
z
)
>
0
)
,
−
1
if
ℜ
(
z
)
<
0
∨
(
ℜ
(
z
)
=
0
∧
ℑ
(
z
)
<
0
)
,
0
if
ℜ
(
z
)
=
ℑ
(
z
)
=
0.
{\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1&{\text{if }}\Re (z)>0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)>0),\\-1&{\text{if }}\Re (z)<0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)<0),\\0&{\text{if }}\Re (z)=\Im (z)=0.\end{cases}}}
即是在一四象限及 xy 轴正半轴為1，二三象限及 xy 轴负半轴为-1，原点為0。
对于 csgn，我们有（除了z = 0以外）：
csgn
(
z
)
=
z
z
2
=
z
2
z
.
{\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}